长春市有多家司法机构能够办理公安亲子鉴定，具体有以下几家：

首先是吉林市司法鉴定中心，它负责长春市各类司法鉴定工作，包括亲子鉴定。其亲子鉴定实行收费制度，具体费用以中心实际出具的计费依据为准。此外，吉林市司法鉴定中心下属具有司法鉴定资质的司法鉴定机构也可以开展亲子鉴定服务。

其次是公安机关指定的亲子鉴定机构，公安机关指定的亲子鉴定机构能够开展受理公安机关交付的民事争议案件的司法鉴定工作。在办理亲子鉴定的业务时，机构需求参照公安机关交付的事先核定的时价表来收费，一般是按照实际办理的工作之间收取费用。

此外，长春市司法鉴定中心也可以开展亲子鉴定业务，采用时价表开展司法鉴定工作，体现了长春市公安局指定的亲子鉴定机构的服务宗旨和思想。司法鉴定中心具体的宣传及收费标准的相关情况，可以在长春市公安局、司法鉴定中心网站或其它途径获得。

需要强调的是，司法亲子鉴定由公安机关下属派出机构指定的机构进行，因此办理公安司法鉴定事宜，一般是先到当地公安机关进行申请和审核，办理成功，公安机关会提供司法鉴定中心指定机构的信息等。北京市公安局指定的亲子鉴定机构有综合医院、卫生部门、司法鉴定中心等多个机构，长春市司法鉴定中心性质也是相同的，同样有综合医院、卫生部门、司法鉴定中心等多个机构，可以提供司法鉴定服务。

总之，长春市有多家司法机构可以办理公安亲子鉴定，包括吉林市司法鉴定中心、公安机关指定亲子鉴定机构，以及长春市司法鉴定中心。它们都有各自的办理流程及收费标准，但需要提醒的是，司法鉴定的服务必须由公安机关指定的机构提供，因此首先还要到当地公安机关进行申请和审核才可以进行下一步的处理。